|
Ac-xi-met |
LỊCH SỬ PHÉP
TÍNH VI TÍCH PHÂN
Các ý tưởng giúp hình thành môn vi tích phân phát triển
qua một thời gian dài. Các nhà toán học Hi Lạp là những
người đã đi những bước tiên phong.
Leucippus, Democritus và Antiphon đã có những đóng góp
vào phương pháp "vét cạn" của Hi Lạp, và sau này được
Euxodus, sống khoảng 370 trước Công Nguyên, nâng lên
thành lí luận khoa học. Sở dĩ gọi là phương pháp "vét
cạn" vì ta xem diện tích của một hình được tính bằng vô
số hình, càng lúc càng lấp đầy hình đó.
Tuy nhiên, chỉ có Archimedes (Ac-xi-met), (287-212 B.C),
mới là người Hi Lạp kiệt xuất nhất. Thành tựu to lớn đầu
tiên của ông là tình được diện tích giới hạn bởi tam
giác cong parabol bằng 4/3 diện tích của tam giác có
cùng đáy và đỉnh và bằng 2/3 diện tích của hình bình
hành ngoại tiếp. Để tìm ra kết quả này, Ác-xi-met dựng
một dãy vô tận các tam giác, bắt đầu với tam giác có
diện tích bằng A và tiếp tục ghép thêm các tam giác mới
nằm xen giữa các tam giác đã có với đường parabol. Hình
parabol dần dần được lấp đầy bởi các tam giác có tổng
diện tích là: A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 +
A/16+A/64... Diện tích giới hạn bởi parabol là: A(1 +
1/4 + 1/16+1/64+...) = (4/3)A.
Ác-xi-met cũng dùng phương pháp "vét cạn" để tính diện
tích hình tròn. Đây là mô hình đầu tiên của phép tính
tích phân, nhờ đó ông đã tìm được giá trị gần đúng của
số pi ở khoảng giữa hai phân số 3 10/71 và 3 1/7.
Trong tất cả những khám phá của mình, Ac-xi-met tâm đắc
nhất là công thức tính thể tích hình cầu. "Thể
tích hình cầu thì bằng 2/3 thể tích hình trụ ngoại tiếp".
Thể theo nguyện vọng lúc sinh thời, sau khi ông mất,
người ta cho dựng một mộ bia có khắc hoa văn một hình
cầu nội tiếp một hình trụ.
Ngoài toán học, Ac-xi-met còn có những phát minh về cơ
học, thủy động học. Tất cả học sinh đều quen thuộc với
định luật mang tên ông về sức đẩy một vật thể khi nhúng
vào một chất lỏng cùng với câu thốt bất hủ "Eureka!
Eureka!"
(Tìm ra rồi! Tìm ra rồi!) khi ông đang tắm. Ông tìm ra
các định luật về đòn bẩy cùng câu nói nổi tiếng "Hãy
cho tôi một điểm tựa, tôi sẽ nhấc bổng quả đất").
Dù ông có vẽ thích toán học hơn vật lí, nhưng Ac-xi-met
vẫn là một kỹ sư thiên tài. Trong những năm quân xâm
lược La Mã hùng mạnh tấn công đất nước Syracuse quê
hương ông, nhờ có những khí tài do ông sáng chế như máy
bắn đá, cần trục kéo lật tàu địch, gương parabol đốt
cháy chiến thuyền, đã giúp dân thành Syracuse cầm chân
quân địch hơn 3 năm. Cuối cùng quân La Mả cũng tràn được
vào thành. Dù có lệnh tướng La Mã là Marcus không được
giêt chết ông, một tên lính La Mã thô bạo xông vào phòng
làm việc khi ông đang mê mãi suy nghĩ cạnh một sa bàn
một bài toán hình dang dở. Khi thấy bóng của nó đổ lên
hình vẽ, ông quát lên: " Đừng quấy rầy đến các đương
tròn của ta !". Thế là tên lính nỗi cáu, đâm chết ông.
Sau khi ông mất, nền toán học hầu như rơi vào trong bóng
tối cho đến thế kỹ thứ 17. Lúc này do nhu cầu kỹ thật,
phép tính vi tích phân trở lại để giài quyết những bài
tóan về sự biến thiên các đại lượng vật lý. Phép tính vi
tích phận được phát triển nhờ tìm ra cách giải quyết
được bốn bài toán lớn của thời đại:
1. tìm tiếp tuyến của một đường cong.
2. tìm độ dài của một đường cong.
3. tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng ;
ví dụ tìm khỏang cách gần nhất và xa nhất giữa một hành
tinh và mặt trời, hoặc khoảng cách tối đa mà một đạn đạo
có thể bay tới theo góc bắn đi của nó.
4. tìm vận tốc và gia tốc của một vật thể theo thời
gian biết phương trình giờ của vật thể ấy.
Vào khỏang giữa thế kỹ 17, những anh tài của thời đại,
như Fermat, Roberval, Descartes, Cavalieri lao vào giải
các bài toán này. Tất cả cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh
cao khi Leibniz và Newton hoàn thiện phép tính vi tích
phân.
Leibniz ( 1646-1716)
Ông là một nhà bác học thiên tài, xuất sắc trên nhiều
lãnh vực: một nhà luật học, thần hoc, triết gia, nhà
chính trị. Ông cũng giõi về địa chất học, siêu hình học,
lịch sữ và đặc biệt tóan học.
Leibniz sanh ở Leipzig, Đức. Cha là một giáo sư triết
học tại Đại học Leipzig, mất khi ông vừa sáu tuổi. Cậu
bé suôt ngày vùi đầu ở thư viện của cha, ngấu nghiến tất
cả các quyễn sách về đũ mọi vần đề. Và thói quen này đã
theo cậu suôt đời. Ngay khi mới 15 tuổi, ông đã được
nhận vào học luật tại Đại học Leipzig, và 20 tuổi đã đậu
tiến sĩ luật. Sau đó, ông hoạt động trong ngành luật và
ngoại giao, làm cố vần luật pháp cho các ông vua bà
chúa.
Trong những chuyến đi công cán ở Paris, Leibnz có dịp
gặp gỡ nhiều nhà toán học nổi tiếng, đã giùp niềm say mê
toán học của ông thêm gia tăng. Đặc biệt, nhà vật lí học
lừng danh Huygens đã dạy ông tóan học. Vì không phải là
dân tóan học chuyên nghiệp, nên có nhiều khi ông khám
phá lại những định lí toán học đã được các nhà toán học
khác biết trước. Trong đó có sự kiện được hai phe Anh
Đức tranh cãi trong suốt 50 năm. Anh thì cho chính
Newton là cha đẻ của phép tính vi tích phân trong khi
Đức thì nói vinh dự đó phải thuộc về Leibniz. Trong khi
hai đương sự thì không có ý kiến gì. Đúng ra là hai
người đã tìm được chân lý trên một cách độc lập: Leibniz
tìm ra năm 1685, mười năm sau Newton, nhưng cho in ra
công trình của mình trước Newton hai mươi năm.
Leibniz sống độc thân suốt đời và mặc dù có những đóng
góp kiệt xuất, ông không nhận được những vinh quang như
Newton. Ông trải qua những năm cuối đời trong cô độc và
nổi cay đắng.
Newton(1642-1727)
Newton sinh ra tại một ngôi làng Anh Quốc. Cha ông mất
trước khi ông ra đời, một tay mẹ nuôi nầng và dạy dỗ
trên nông trại nhà. Năm 1661, ông vào học tại trường đại
học Trinity ở Cambridge mặc dủ điểm hình học hơi yếu.
Tại đây ông được Barrow, nhà toán học tài năng chú ý.
Ông lao vào học toán và khoa học, nhưng tốt ngghiệp loại
bình thường. Vì bệnh dịch hoành hành khắp châu Âu và lan
truyền nhanh chóng đến London, ông phải trở lại làng quê
và trú ngụ tại đó trong hai năm 1665, 1666. Chính trong
thời gian này, ông đã xây dựng những nền tảng của khoa
học hiện đại: khám phá nguyên tắc chuyển động các hành
tinh, của trọng lực, phát hiện bản chất của ánh sáng.
Tuy thế ông không phổ biến các khám phá của mình. Ông
trở lại Cambridge năm 1667 để lấy bằng cao học. Sau khi
tốt nghiệp, ông dạy học tại Trinity. Năm 1669, ông giữ
chức giáo sư trưởng khoa toán, kế nhiệm giáo sư Barrow,
một chức danh vinh dự nhất trong giáo dục. Trong những
năm sau đó, ông đã công thức hoá các đinh luật hấp dẫn,
nhờ đó giải thích được sự chuyễn động của các hành tinh,
mặt trăng và thủy triều.Ông cũng chế tạo ra kình viễn
vọng hiện đại đầu tiên.
Trong đời ông, ông ít khi chịu cho in các khám phá vĩ
đại của mình, chỉ phổ biến trong phạm vi bạn bè đồng
nghiệp. Năm 1687, trước sự khuyến khích nhiệt tình của
nhà thiên văn học Halley, Newton mới chịu cho xúât bản
cuốn Những nguyên tăc toán học. Tác phẩm này ngay lập
tức được đánh giá là một trong những tác phẫm có ảnh
hưởng lớn lao nhất của nhân loại. Cũng tương tự như thế,
chỉ sau khi biết Leibniz đã in công trình của minh, ông
mới công bố tác phẫm của mình về phép tính vi tich phân.
Vĩ đại như thế, nhưng khi nói về minh ông luôn cho rằng
sở dĩ ông có đôi khi nhìn xa hơn kẻ khác vì ông đứng
trên vai của các vĩ nhân. Và với những khám phá lớn lao
của mình, ông nói: "Tôi
thấy mình như một đứa trẻ chơi đùa trên bãi biển, may
mắn gặp được những viên sỏi tròn trịa, hoặc một vỏ sò
đẹp hơn bình thường, trong khi trước mặt là một đại
dương bao la của chân lí mà tối chưa được biết". |
